오일러 수 𝑒와 복리, 그리고 인구 증가 이야기

수학에는 오일러 수 e 라는 아주 특별한 숫자가 있습니다.
값은 약 2.718… 인데, 이 숫자는 계속해서 자라나는 것 을 표현할 때 꼭 등장합니다.

 

1. 복리란 무엇일까?

은행에서 돈을 맡기면 이자가 붙습니다.

• 단리: 원금에만 이자가 붙음 → 매년 같은 금액이 늘어남.
• 복리: 원금 + 이자 전체에 또 이자가 붙음 → 시간이 지날수록 점점 더 빨리 불어남.

예를 들어, 100% 이율로 원금 1을 넣으면:

• 1년에 한 번 복리 → 2가 됨
• 반년에 한 번 복리 → 2.25
• 1년에 4번 복리 → 2.44
• 매달 복리 → 2.61

“계산을 자꾸 더 잘게 나누면 돈이 더 불어나네?”
그런데 아무리 잘게 나눠도 2.718…보다 커지지 않습니다.
이 한계 값이 바로 오일러 수 e 입니다.

S : t 년후의 원리합계, P : 원금, r : 이자율 , n : 연중 이자 적용 횟수

 

2. 자연 속의 연속적인 성장

돈뿐만 아니라, 인구, 세균, 바이러스, 방사성 물질 같은 것들도 끊임없이 변합니다.
이때도 오일러 수 e가 등장합니다.

예를 들어, 인구가 계속 5%씩 늘어난다고 하면,
시간 t가 지날수록 인구는 이렇게 불어납니다:

즉, 시간이 지날수록 곡선 모양으로 점점 더 빠르게 늘어납니다.

 

3. 자연로그란 무엇일까?

반대로, “인구가 몇 배가 되려면 몇 년이 걸릴까?”를 알고 싶을 때는 자연로그를 씁니다.

• 예: 인구가 3배가 되는 데 걸리는 시간은
  

 

여기서 ln 이 바로 자연로그예요.
쉽게 말해, ”e를 몇 번 곱해야 원하는 숫자가 되는가?” 를 알려주는 함수입니다.

 

4. 그림으로 보는 성장

아래 그래프는 초기 인구 1000명, 연 5% 성장을 가정했을 때 50년 동안 어떻게 변하는지를 보여줍니다.

• 직선처럼 보이는 단리보다
• 가속도가 붙는 복리가 더 빠르고,
• 연속 성장(오일러 수 e기반)은 가장 자연스럽고 빠르게 늘어납니다.

초기인구: 1000명, 증가율: 연 5%, 향후 50년간의 증가추이

5. 정리

• 복리를 무한히 쪼개면 도달하는 값이 바로 오일러 수 e
• 인구 증가, 세균 번식, 질병 확산 등 자연의 성장 법칙은 모두 e를 따른다
• 자연로그 ln ⁡는 이런 성장을 거꾸로 계산할 때 쓰인다

👉 결국, 오일러 수 e는 “자연의 성장 공식”이라고 할 수 있습니다.